1.为什么要有图？

前面我们学了线性表和树，发现有以下局限性： 1. 线性表局限于一个直接前驱和一个直接后继的关系 2. 树也只能有一个直接前驱也就是父节点 3. 无论是线性表还是树都无法表示多对多的关系

2.图的常用概念

• 顶点(vertex)
• 边(edge)
• 路径
• 无向图
• 有向图
• 带权图

3.图的实现方式

图的表示方式有两种：二维数组表示（邻接矩阵）；链表表示（邻接表）。

邻接矩阵: 邻接矩阵是表示图形中顶点之间相邻关系的矩阵，对于 n 个顶点的图而言，矩阵是的 row 和 col 表示的是 1....n个点。

邻接表:

1. 邻接矩阵需要为每个顶点都分配 n 个边的空间，其实有很多边都是不存在,会造成空间的一定损失。
2. 邻接表的实现只关心存在的边，不关心不存在的边。因此没有空间浪费，邻接表由数组+链表组成。

4.图的遍历

图的深度优先搜索(Depth First Search)，和树的先序遍历比较类似。

思路：假设初始状态是图中所有顶点均未被访问，则从某个顶点v出发，首先访问该顶点，然后依次从它的各个未被访问的邻接点出发深度优先搜索遍历图，直至图中所有和v有路径相通的顶点都被访问到。 若此时尚有其他顶点未被访问到，则另选一个未被访问的顶点作起始点，重复上述过程，直至图中所有顶点都被访问到为止。显然，深度优先搜索是一个递归的过程。

访问顺序是：A -> C -> B -> D -> F -> G -> E

广度优先

从图中某顶点v出发，在访问了v之后依次访问v的各个未曾访问过的邻接点，然后分别从这些邻接点出发依次访问它们的邻接点，并使得“先被访问的顶点的邻接点先于后被访问的顶点的邻接点被访问，直至图中所有已被访问的顶点的邻接点都被访问到。如果此时图中尚有顶点未被访问，则需要另选一个未曾被访问过的顶点作为新的起始点，重复上述过程，直至图中所有顶点都被访问到为止。换句话说，广度优先搜索遍历图的过程是以v为起点，由近至远。

访问顺序是：A -> C -> D -> F -> B -> G -> E

5.实例

使用Java代码实现如下图结构

package com.simoniu.map;

import java.util.ArrayList;
import java.util.Arrays;
import java.util.LinkedList;

public class Graph {

    private ArrayList<String> vertexList; //存储顶点集合
    private int[][] edges; //存储图对应的邻结矩阵
    private int numOfEdges; //表示边的数目
    //定义给数组 boolean[], 记录某个结点是否被访问
    private boolean[] isVisited;

    //构造器
    public Graph(int n) {
        //初始化矩阵和 vertexList
        edges = new int[n][n];
        vertexList = new ArrayList<String>(n);
        numOfEdges = 0;
    }
    //得到第一个邻接结点的下标 w

    /**
     * @param index
     * @return 如果存在就返回对应的下标，否则返回-1
     */
    public int getFirstNeighbor(int index) {
        for (int j = 0; j < vertexList.size(); j++) {
            if (edges[index][j] > 0) {
                return j;
            }
        }
        return -1;
    }

    //根据前一个邻接结点的下标来获取下一个邻接结点
    public int getNextNeighbor(int v1, int v2) {
        for (int j = v2 + 1; j < vertexList.size(); j++) {
            if (edges[v1][j] > 0) {
                return j;
            }
        }
        return -1;
    }

    //深度优先遍历算法
    //i 第一次就是 0
    private void dfs(boolean[] isVisited, int i) {
        //首先我们访问该结点,输出
        System.out.print(getValueByIndex(i) + "->");
        //将结点设置为已经访问
        isVisited[i] = true;
        //查找结点 i 的第一个邻接结点 w
        int w = getFirstNeighbor(i);
        while (w != -1) {//说明有
            if (!isVisited[w]) {
                dfs(isVisited, w);
            }
            //如果 w 结点已经被访问过
            w = getNextNeighbor(i, w);
        }
    }

    //对 dfs 进行一个重载, 遍历我们所有的结点，并进行 dfs
    public void dfs() {
        isVisited = new boolean[vertexList.size()];
        //遍历所有的结点，进行 dfs[回溯]
        for (int i = 0; i < getNumOfVertex(); i++) {
            if (!isVisited[i]) {
                dfs(isVisited, i);
            }
        }
    }

    //对一个结点进行广度优先遍历的方法
    private void bfs(boolean[] isVisited, int i) {
        int u; // 表示队列的头结点对应下标
        int w; // 邻接结点 w
        //队列，记录结点访问的顺序
        LinkedList queue = new LinkedList();
        //访问结点，输出结点信息
        System.out.print(getValueByIndex(i) + "=>");
        //标记为已访问
        isVisited[i] = true;
        //将结点加入队列
        queue.addLast(i);
        while (!queue.isEmpty()) {
            //取出队列的头结点下标
            u = (Integer) queue.removeFirst();
            //得到第一个邻接结点的下标 w
            w = getFirstNeighbor(u);
            while (w != -1) {//找到
                //是否访问过
                if (!isVisited[w]) {
                    System.out.print(getValueByIndex(w) + "=>");
                    //标记已经访问
                    isVisited[w] = true;
                    //入队
                    queue.addLast(w);
                }
                //以 u 为前驱点，找 w 后面的下一个邻结点
                w = getNextNeighbor(u, w); //体现出我们的广度优先
            }
        }
    }

    //遍历所有的结点，都进行广度优先搜索
    public void bfs() {
        isVisited = new boolean[vertexList.size()];
        for (int i = 0; i < getNumOfVertex(); i++) {
            if (!isVisited[i]) {
                bfs(isVisited, i);
            }
        }
    }

    //图中常用的方法
    //返回结点的个数
    public int getNumOfVertex() {
        return vertexList.size();
    }

    //显示图对应的矩阵
    public void showGraph() {
        for (int[] link : edges) {
            System.err.println(Arrays.toString(link));
        }
    }

    //得到边的数目
    public int getNumOfEdges() {
        return numOfEdges;
    }

    //返回结点 i(下标)对应的数据 0->"A" 1->"B" 2->"C"
    public String getValueByIndex(int i) {
        return vertexList.get(i);
    }

    //返回 v1 和 v2 的权值
    public int getWeight(int v1, int v2) {
        return edges[v1][v2];
    }

    //插入结点
    public void insertVertex(String vertex) {
        vertexList.add(vertex);
    }
    //添加边

    /**
     * @param v1     表示点的下标即使第几个顶点 "A"-"B" "A"->0 "B"->1
     * @param v2     第二个顶点对应的下标
     * @param weight 表示
     */
    public void insertEdge(int v1, int v2, int weight) {
        edges[v1][v2] = weight;
        edges[v2][v1] = weight;
        numOfEdges++;
    }


    public static void main(String[] args) {
        //测试一把图是否创建 ok
        int n = 5; //结点的个数
        String vertexs[] = {"A", "B", "C", "D", "E"};

        //创建图对象
        Graph graph = new Graph(n);
        //循环的添加顶点
        for (String vertex : vertexs) {
            graph.insertVertex(vertex);
        }
        //添加边
        //A-BA-C B-C B-D B-E
        graph.insertEdge(0, 1, 1); //A-B
        graph.insertEdge(0, 2, 1); //
        graph.insertEdge(1, 2, 1); //
        graph.insertEdge(1, 3, 1); //
        graph.insertEdge(1, 4, 1); //

        //显示一把邻结矩阵
        graph.showGraph();
        //测试一把，我们的 dfs 遍历是否 ok
        System.out.println("深度遍历");
        graph.dfs(); //A->B->C->D->E [1->2->4->8->5->3->6->7]
        // System.out.println();
        System.out.println("广度优先!");
        graph.bfs(); //A->B->C->D-E [1->2->3->4->5->6->7->8]
    }
}

运行结果：
[0, 1, 1, 0, 0]
[1, 0, 1, 1, 1]
[1, 1, 0, 0, 0]
[0, 1, 0, 0, 0]
[0, 1, 0, 0, 0]
深度遍历
A->B->C->D->E->广度优先!
A=>B=>C=>D=>E=>