1.函数定义

函数是一种数学工具，可以想象成一个能实现某个功能的机器，它接收输入（通常是一个或多个数字），然后按照特定的规则处理这些输入，最后给出输出（通常也是一个数字）。这个过程就像烹饪一样：你把原料（输入）放进烤箱（函数），烤箱根据设定的温度和时间（规则）烹饪原料，最终出来的是成品（输出）。

例如，考虑一个简单的函数,f(x)=x+2。这个函数的规则是将输入的数字增加2。所以如果你输入3，输出就是f(3)=3+2=5。这里，3就是输入，5就是输出。这样的函数帮助我们在数学、科学和工程中建立输入和输出之间的关系，从而解决实际问题。

微积分中函数的定义通常表示如下：

f(x)=y

函数的定义包括三个主要部分：

• 定义域(Domain):函数f(x) 中自变量x可以取的所有可能值的集合。定义域是必须明确指出的，因为并非所有的x 值都必须在函数的作用范围内。
• 对应规则(Rule of Correspondence):这是一个规则或公式，说明了如何将每个x值映射到一个y值。这可以是一个算术表达式、代数式、几何关系或者其他数学描述。
• 值域(Range):由函数f(x)生成的所有y值的集合。值域依赖于x的定义域以及对应规则。

函数的类型非常多样，可以是线性的、二次的、多项式的、指数的、对数的等等。函数不仅是微积分中的基础概念，也是整个数学分析中的核心概念。

注意：函数体现了一种映射关系，简单说，一个x只能对应一个y，而一个y可以对应多个x。例如：y=x,对于确定的x,只有一个确定的y与之对应，多对一的情况,如y=x²,x和-x对应的y相同。

特别要注意的是一个X值仅对应一个Y值，但一个Y值不一定对应一个X值。

上图：这是函数，因为不同的输入值有唯一的输出值。

上图：这不是函数，因为相同的输入值对应了不同的输出值。

例如图2-2四个图形中，只有第四个是函数，其它三个都不是。

2.函数常见的性质

• 有界性：函数在某个区间上的值域是有限的，即存在一个上界和一个下界，使得函数值在这个范围内变化。
• 单调性：函数在某个区间上要么单调递增（即随着x的增大，y也增大），要么单调递减（即随着x的增大，y减小）。
• 奇偶性：函数可以按照其图像是否关于y轴或原点对称来分类为奇函数或偶函数。奇函数满足f(-x) = -f(x)即与原点对称，而偶函数满足f(-x) = f(x)即与y轴对称。
• 周期性：如果存在一个正数T，使得对于所有x，都有f(x+T) = f(x)，则称函数是周期性的，T称为函数的周期。比如：正玄和余玄函数。
• 连续性：连续函数是指函数y=f（x）当自变量x的变化很小时，所引起的因变量y的变化也很小。

2.1.函数的单调性

函数的单调性是指函数值（即输出）随着自变量（即输入）的增加或减少而表现出的一致性变化趋势。我们可以通过以下几种方式来通俗解释：

• 上坡和下坡：想象你在一条直的道路上行驶，这条道路代表一个函数。如果道路一直向上坡，这表示函数是单调增加的；如果道路一直向下坡，这表示函数是单调减少的。如果道路有时候上坡，有时候下坡，那么这个函数在这些区间上就不是单调的。
• 楼梯上升和下降：想象你正在爬楼梯。如果每一步都是向上的，那么你的高度随着每一步都在增加，这就像一个单调递增的函数。如果每一步都是向下的，你的高度随着每一步都在减少，这就像一个单调递减的函数。
• 气温变化：考虑一个炎热的日子从早上到下午的温度变化。如果气温从早上到下午一直在升高，我们可以说这一天的温度是单调增加的。如果气温是从中午到夜晚一直在降低，那么这一天的温度是单调减少的。

通过这些生活中的例子，我们可以更直观地理解函数的单调性。简单来说，就是查看函数输出随输入变化的“趋势”——是否始终是上升或下降的。

2.2.函数的连续性

试想一下你正在用笔在纸上画一条线。如果你能够从开始点画到结束点而不需要抬起笔，那么你画的这条线就可以认为是"连续"的。用这个类比来解释数学中的函数连续性，意味着当你改变函数的输入值（x值）时，函数的输出值（y值）不会突然跳跃到完全不同的数值，而是平滑地变化。

更具体地说，如果你考虑一个特定的点，比如x=a，函数在这一点连续的含义是：当你将输入值x逐渐调整接近a时，函数的输出值f(x)也会逐渐接近f(a)。换句话说，只要你的x值足够接近a，那么f(x) 的值也应该非常接近f(a)，而没有任何不可预测的跳跃或间断。这样的特性使得函数在图形上显示为一条连续的曲线，没有任何"断裂"或"空洞"。当函数在整个定义域内都是连续的时，我们可以非常方便地通过图形来预测和理解函数的行为。

需要注意的是函数的单调性和连续性不是同一个概念，它们描述的是函数的不同特性：

• 单调性：单调性描述的是函数值随自变量变化的趋势是否一致。单调性关注的是函数的增长或减少的一致性，而不关心函数值之间是否存在间断。
• 连续性：连续性侧重于函数在其定义域内没有"跳跃"，特别是是否存在间断点。一个函数在某点连续，意味着当输入值x趋近于该点时，函数f(x)的值会趋近于函数在该点的值f(a)。

总结来说，单调性和连续性是描述函数不同方面的属性：单调性关注输出值的排序规律，而连续性关注函数在输入值变化时输出值的“平滑性”。一个函数可以是连续的但不单调，也可以是单调的但不连续（例如，分段常数函数）。

3.极限

函数的极限是微积分中一个非常核心的概念，它描述了函数值在输入变量接近某个点时的趋势或行为。需要注意的是广义的“极限”是指“无限靠近而永远不能到达”的意思。

举个生活中的例子，每个人的饭量都是有限的，有些人饭量大有些人饭量小，这里说的饭量大小就是指这个人饭量的极限。

在微积分中，函数极限的通俗定义如下：

如果当自变量x无限接近实数x0时，函数值f(x)无限接近某个常数A，我们称这个常数A为当x→x0时，函数f(x)的极限，记作：limf(x)=A

需要注意的是我们不要求f(x)在x0处必须有定义，也不要求f(x)在x=x0时一定是A，我们关注的是x无限接近x0时f(x)的趋势。

例如，考虑如下函数。

在x=1时，这个函数未定义(因为分母为零)，但我们可以讨论x无限接近1时的极限。通过简化这个函数(因子分解后取消公因式)，我们发现当x接近1时，f(x) 无限接近 2。这意味着虽然在x=1时该函数未定义，但其极限值为 2。

通过这种方式，极限帮助我们理解函数在接近某些特定点，甚至是在这些点未定义时的行为。这是理解函数整体行为的一个强大工具，特别是在处理微积分问题时。

无穷小

如果函数f(x)当x->0或者x->∞时的极限为零，那么称函数f(x)为当x->0或者x->∞时的无穷小。无穷小量不是一个数，它是一个变量，零是作为无穷小量的唯一可能的常数。

无穷小的性质：

• 有限个无穷小量的和仍为无穷小量。
• 有限个无穷小量的乘积仍为无穷小量。
• 有界函数与无穷小量的乘积仍为无穷小量。
• 无限个无穷小之和不一定是无穷小。

无穷大

无穷大符号表示为∞是在自变量的某个变化过程中绝对值无限增大的变量或函数。无穷大是一个状态(无限增长的状态)，不是一个数。

无穷大的性质： - 两个无穷大量之和不一定是无穷大； - 有界量与无穷大量的乘积不一定是无穷大； - 有限个无穷大量之积一定是无穷大。

在自变量的同一变化过程中，无穷大与无穷小具有倒数关系，即当x→a时f(x)为无穷大，则1/f(x)为无穷小。

提示：两个无穷大之和，不一定是无穷大，因为无穷大有+∞和-∞之分，一个+∞和一个-∞的和，不一定是无穷大，可能是无穷大，也可能是无穷小，也可能是任何有限常数，也有可能无极限。例如，考虑函数f(x) = x和g(x) = (1 - x^2)/x，当x趋于无穷大时，f(x)和g(x)都是无穷大，但它们的和lim(x→∞)[f(x) + g(x)] = 0，并不是无穷大。‌

小结：

无穷大或者无穷小都不是确定的某个数，而是以函数的形式存在着。

5.常见函数极限

以下是一些常见类型的函数及其极限的示例：

• 多项式函数

对于任何多项式函数如下：

当x趋近于某个实数c 时，极限就是将c代入多项式计算得到的结果：

• 有理函数

有理函数是两个多项式的比，形式如下：

如果则：

如果，极限可能不存在或为无穷大，具体取决于函数和趋近的方向。

• 三角函数

常见的三角函数极限包括：

• 指数函数和对数函数

指数函数和对数函数也有重要的极限性质：

• 无穷大的极限

当 x 趋向无穷大或无穷小，极限表现出不同的行为：

下面是一些常见函数极限的解释。

sinx/x的极限在x趋向于0和x趋向于无穷大时的情况是不同的。当x趋向于0时，sinx/x的极限是1；当x趋向于无穷大时，sinx/x的极限是0。具体分析如下：

当x趋向于0时，sinx/x的极限是1。这是因为sinx和x在x=0处的导数都存在，且都等于1，满足洛必达法则的使用条件。因此，可以使用洛必达法则来计算这个极限。具体来说，当x趋近于0时，sinx/x的极限等于cos0/1，即1/1，结果为1。

当x趋向于无穷大时，sinx/x的极限是0。这是因为当x趋近于无穷大时，sinx的取值范围是[-1,1]，而x作为分母趋向于无穷大，所以sinx/x的极限是0。

关于a的零次方是1的极限问题，我们知道a的n次方是n个a连乘。那我们很容易知道a的n+1次方其实等于a的n次方乘以a。 a^(n+1) = a^(n) * a 按照这个说法，那么a的 一次方就应该等于a的0次方再乘以a。 写成 a^1 = (a^0) * a 如果a不是零，两边同时消去a，很容易知道 a^0 最好定义为 1。 当a=0时，0^0 时多少呢，显然因为a=0, a^1=0,我们不能在等式两边除去0. 一个好方法是用极限的办法来求 lim(x->0+) x^x = ? 我们来算这个，在x 无限逼近0的时候，x^x是多少？

1^1=1
0.9^0.9=0.9096
0.8^0.8=0.8365
0.7^0.7=0.7791
0.6^0.6=0.7360
0.5^0.5=0.7071
0.4^0.4=0.6391
0.3^0.3=0.6968
0.2^0.2=0.7248
0.1^0.1=0.7943
0.01^0.01=0.9550
0.001^0.001=0.9931
0.0001^0.0001=0.9991
0.00001^0.00001=0.999884877
0.000001^0.000001=0.9999861846

可以看到 lim(x->0+) x^x = 1 趋向于1 因此定义 0^0 = 1 所以 a^0 = 1 对所有实数a都成立。

另外一种解释就是,因为a的0次方等于a的（n-n)次方,而a的(n-n)次方又等于a的n次方除以a的n次方,结果就等于1了。

6.附录

常见三角函数图形汇总。

7.极限练习题目