Pytorch与矩阵分解-PCA。

1.数据降维

降维就是一种对高维度特征数据预处理方法。降维是将高维度的数据保留下最重要的一些特征，去除噪声和不重要的特征，从而实现节省大量的时间和成本。在实际的生产和应用中，降维在一定的信息损失范围内，可以为我们节省大量的时间和成本。降维也成为应用非常广泛的数据预处理方法。

降维具有如下一些优点： 1. 使得数据集更易使用。 2. 降低算法的计算开销。 3. 去除噪声。 4. 使得结果容易理解。

降维的算法有很多，比如奇异值分解(SVD)、主成分分析(PCA)、因子分析(FA)、独立成分分析(ICA)。

2.PCA的概念

PCA(Principal Component Analysis)，即主成分分析方法。在机器学习中降维是我们经常需要用到的算法，在降维的众多方法中PCA无疑是最经典的机器学习算法之一，例如一个人脸识别算法，就会频繁用到PCA算法。

PCA的核心思想是将n维特征映射到k维上，这k维是全新的正交特征也被称为主成分，是在原有n维特征的基础上重新构造出来的k维特征。

我们如何得到这些包含最大差异性的主成分方向呢？

通过计算数据矩阵的协方差矩阵，然后得到协方差矩阵的特征值特征向量，选择特征值最大(即方差最大)的k个特征所对应的特征向量组成的矩阵。这样就可以将数据矩阵转换到新的空间当中，实现数据特征的降维。

PCA算法有两种实现方法：基于特征值分解(EVD)协方差矩阵实现PCA算法、基于SVD分解协方差矩阵实现PCA算法。

3.特征值分解矩阵原理

1).特征值与特征向量 如果一个向量v是矩阵A的特征向量，将一定可以表示成下面的形式：

其中，λ是特征向量v对应的特征值，一个矩阵的一组特征向量是一组正交向量。

2).特征值分解矩阵

特征值分解（EVD）,对于矩阵A，有一组特征向量v，将这组向量进行正交化单位化，就能得到一组正交单位向量。特征值分解，就是将矩阵A分解为如下式：

其中，Q是矩阵A的特征向量组成的矩阵，则是一个对角阵，对角线上的元素就是特征值。

注意：特征值分解要求矩阵必须是方阵也称为实对称矩阵。